monoïde et
monoïde libre
Un monoïde est un ensemble E muni d'une opération binaire interne associative ⊕.
Un monoïde libre est un monoïde possèdant un élément neutre ε. Il est parfois noté <E, ⊕, ε>
|
Un monoïde est un ensemble E muni d'une opération binaire interne associative ⊕. Un monoïde libre est un monoïde possèdant un élément neutre ε. Il est parfois noté <E, ⊕, ε> |
Par exemple, <N, +, 0> est un monoïde, où N est l'ensemble des entiers naturels. En effet, + est associative et 0 est neutre pour +. De même, <N, *, 1> est un monoïde.
|
Soit <E, ⊕, ε> un monoïde et T une partie de E. <T, ⊕, ε> est un sous-monoïde de <E, ⊕, ε> si c'est un monoïde, c'est-à-dire si ε ∈ T et ∀ t, t'∈ T, t ⊕ t' ∈ T |
Par exemple, <P, +, 0> est un sous-monoïde de <N, +, 0>, où P est l'ensemble des entiers naturels pairs.
|
Soit M =<E, ⊕, ε> un monoïde. Pour toute partie A de E on peut définir le plus petit sous-monoïde de M contenant A. On l'appelle le sous-monoïde de M engendré par A. |
Par exemple, le sous-monoïde de <N, +, 0> engendré par {3} est l'ensemble des naturels multiples de 3 (de même que celui engendré par {3,6}).
Remarque : Soit M=<E, ⊕, ε> un monoïde et
A une partie de M. On peut montrer que le sous-monoïde
de M engendré
par A est ∪n=0..∞ An, où A0={ε}
et ∀n ∈ N alors An+1 = A ⊕ An = {x ⊕
y | x ∈ A, y ∈ An}
Exercices et tests :
Exercice 2.1. Indiquer si les ensembles suivants sont des monoïdes ? des monoïdes libres ? (N est l'ensemble des entiers naturels, Pair(N) est l'ensemble des entiers pairs et Impair(N) l'ensemble des entiers impairs)
mardi, 25/11/03 16:16